Question

【题目】已知抛物线和轴上的定点，过抛物线焦点作一条直线交于、两点，连接并延长，交于、两点.

（1）求证：直线过定点；

（2）求直线与直线最大夹角为，求.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）当直线、斜率不存在时，可直接求解；当直线、斜率存在时，设直线，，，，，不妨设，联立方程组得，，，，结合可得直线，即可得证；

（2）当直线斜率存在时，易证，利用求出最大值即可得解.

（1）证明：由题意知抛物线焦点，

当直线斜率不存在时，直线，易得，，

则直线，，

所以点，，此时直线；

当线斜率存在时，设直线，，，，，不妨设，

则，化简得，，

则，，

①当时，则，所以，，点，

所以直线，点，

直线，则解得点，

所以直线；

②当时，此时直线，

则，结合化简得，

此方程有一根为，所以，所以，所以，

同理可得，

由，，可得，，

所以，

所以直线，化简得，

可得直线过点；

综上，直线恒过点；

（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，；

当直线斜率存在时，，

设直线与直线的夹角为，

，当且仅当时，等号成立，

所以对于直线与直线最大夹角，.