Question

16．甲、乙、丙三人投篮的水平都比较稳定，若三人各自独立地进行一次投篮测试，则甲投中而乙不投中的概率为$\frac{1}{4}$，乙投中而丙不投中的概率为$\frac{1}{12}$，甲、丙两人都投中的概率为$\frac{2}{9}$．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率；
（2）若丙连续投篮5次，求恰有2次投中的概率；
（3）若丙连续投篮3次，每次投篮，投中得2分，未投中得0分，在3次投篮中，若有2次连续投中，而另外1次未投中，则额外加1分；若3次全投中，则额外加3分，记ξ为丙连续投篮3次后的总得分，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）记甲、乙、丙三人各自独立地进行一次投篮测试投中的事件依次为A、B、C，由题设条件有：$P（A\overline{B}）$=$\frac{1}{4}$，$P（B\overline{C}）$=$\frac{1}{12}$，P（AC）=$\frac{2}{9}$，解出即可得出．
（2）丙连续投篮5次，恰有2次投中的概率为$P=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$，
（3）ξ可以取的值为0，2，4，5，9，可求得：$P（ξ=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（ξ=2）=C_3^1\frac{2}{3}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=4）={（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，$P（ξ=5）=2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=9）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．可得ξ的分布列及其数学期望．

解答 解：（1）记甲、乙、丙三人各自独立地进行一次投篮测试投中的事件依次为A、B、C，由题设条件有：
$P（A\overline{B}）$=$\frac{1}{4}$，$P（B\overline{C}）$=$\frac{1}{12}$，P（AC）=$\frac{2}{9}$，即P（A）[1-P（B）]=$\frac{1}{4}$，①；P（B）[1-P（C）]=$\frac{1}{12}$，②P（A）P（C）=$\frac{2}{9}$，③．…（2分）
由①③得P（B）=1-$\frac{9}{8}$P（C），代入②得27P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P（C）=$\frac{2}{3}$或P（C）=$\frac{11}{9}$ （舍去）．将P（C）=$\frac{2}{3}$分别代入②③可得P（A）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{1}{4}$．
故甲、乙、丙三人各自投篮一次投中的概率分别是$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3}$…（5分）
（2）丙连续投篮5次，恰有2次投中的概率为$P=C_5^2{（\frac{2}{3}）^2}{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{40}{243}$；…（7分）
（3）ξ可以取的值为0，2，4，5，9，可求得：$P（ξ=0）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，$P（ξ=2）=C_3^1\frac{2}{3}{（\frac{1}{3}）^2}=\frac{2}{9}$，$P（ξ=4）={（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，$P（ξ=5）=2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=9）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	2	4	5	9
p	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

∴ξ期望为Eξ=0+$2×\frac{2}{9}+4×\frac{4}{27}$+5×$\frac{8}{27}$+9×$\frac{8}{27}$=$\frac{140}{27}$…（12分）

点评 本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题．