Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，点A（a，b）为椭圆C上的动点，则m=|$\frac{3-a}{b}$|的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设a=$\sqrt{3}$cosα，b=$\sqrt{2}$sinα，则记y=$\frac{3-a}{b}$，利用三角函数的最值求出y的范围，即可求出m=|$\frac{3-a}{b}$|的最小值．

解答 解：设a=$\sqrt{3}$cosα，b=$\sqrt{2}$sinα，则记y=$\frac{3-a}{b}$=$\frac{3-\sqrt{3}cosα}{\sqrt{2}sinα}$，
整理得$\sqrt{2}$ysinθ+$\sqrt{3}$cosθ=3，
∴$\sqrt{2{y}^{2}+3}$sin（θ+α）=3，其中tanα=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}y}$
∵sin（θ+α）=$\frac{3}{\sqrt{2{y}^{2}+3}}≤1$
∴$\sqrt{2{y}^{2}+3}$≥3，
∴|y|≥$\sqrt{3}$，
∴m=|y|_min=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的应用，涉及三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．