Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，均存在使得，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间；

(Ⅱ)首先求得函数的最大值，然后进行等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定的取值范围.

（Ⅰ）.

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.

②当时，，

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

③当时，，故的单调递增区间是.

④当时，，在区间和上，；区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.

（Ⅱ）设，，，为增函数，

由已知，.据此可得.

由（Ⅰ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，故.

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，

综上所述，.