Question

已知等轴双曲线C的两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，线段F₁F₂的中点是坐标原点，且双曲线经过点（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．请确定哪个是等轴双曲线C的方程，并求出此双曲线的实轴长；
（2）现要在等轴双曲线C上选一处P建一座码头，向A（3，3）、B（9，6）两地转运货物．经测算，从P到A、从P到B修建公路的费用都是每单位长度a万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
（3）如图，函数y=

3

3

x+

1

x

的图象也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）

Answer 1

分析：（1）判断3个方程中哪一个是等轴双曲线C的方程，依题意，其两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，可以排除①；且双曲线经过点（3，

3

2

）．可排除②；计算可以确定③符合，进而联立方程

xy= 9 2 y=x

，解得双曲线xy=

9

2

的两顶点坐标，即可得答案．
（2）根据题意，分析可将问题转化为在双曲线xy=

9

2

求一点P，使|PA|+|PB|最小，分析易得P位于第一象限，设双曲线的另一个焦点为F₂其坐标为（-3，-3），由双曲线的定义可得PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值，结合直线BF₂的方程，易得答案．
（3）类比双曲线的有关性质，分别求函数y=

3

3

x+

1

x

的图象的对称性等性质，分析出有关性质即可．

解答：解：（1）双曲线x2 -y2=

27

4

的焦点在x轴上，所以①不是双曲线c的方程
双曲线xy=9不经过点(3，

3

2

)，所以②不是双曲线C的方程
所以③xy=

9

2

是等轴双曲线C的方程
等轴双曲线xy=

9

2

的焦点F₁、F₂在直线y=x上，
所以双曲线的顶点也在直线y=x上，
联立方程

xy= 9 2 y=x

，
解得双曲线xy=

9

2

的两顶点坐标为（

3 2

2

，

3 2

2

）（-

3 2

2

，-

3 2

2

），
所以双曲线xy=

9

2

的实轴长为6
（2）所求问题即为：在双曲线xy=

9

2

求一点P，使|PA|+|PB|最小．
首先，点P应该选择在等轴双曲线的xy=

9

2

中第一象限的那一支上
等轴双曲线的xy=

9

2

的长轴长为6，所以其焦距为6

2

又因为双曲线的两个焦点F₁、F₂在直线y=x上，
线段F₁F₂的中点是原点，所以A（3，3）是xy=

9

2

的一个焦点，
设双曲线的另一个焦点为F₂（-3，-3），
由双曲线的定义知：|PA|=|PF₂|-6
所以|PA|+|PB|=（|PF₂|-6+|PB|），
要求|PA|+|PB|的最小值，只需求|PF₂|+|PB|的最小值
直线BF₂的方程为3x-4y-3=0，
所以直线BF₂与双曲线xy=

9

2

在第一象限的交点为(3，

3

2

)
所以码头应在建点P(3，

3

2

)处，才能使修建两条公路的总费用最低
（3）①f(-x)=

3

3

(-x)+

1

-x

=-(

3

3

x+

1

x

)=-f(x)，
此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点（0，0）；
②渐近线是y=

3

3

x和x=0．当x＞0时，
当x无限增大时，

1

x

无限趋近于0，
y=

3

3

x+

1

x

与y=

3

3

x无限趋近；
当y无限增大时，x无限趋近于0．
③双曲线的对称轴是y=

3

x和y=-

3

3

x．
④实轴在直线y=

3

x上，实轴长为2

4	12

虚轴在直线y= -

3

3

x，虚轴长为2

4	4 3

⑤焦点坐标为（(

4	4 3

，

4	12

)，(-

4	4 3

，-

4	12

)），焦距2

4	64 3

．

点评：本题难度较大，涉及双曲线的变形应用，解题时应紧扣双曲线的定义，找准焦点、顶点、实轴、虚轴的位置．