Question

【题目】如下图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米。

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积。

Answer 1

【答案】（1）（2）AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米。

【解析】

试题分析：（1）设AN的长为x，利用，用x表示AM，然后求面积，，再解不等式求x得范围。（2）解法一：把中的x-2看成整体变形成，用基本不等式求解。解法二：对求导，利用导数求极小值即为最小值。

试题解析：解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）由题意可知：∵∴∴∴由SAMPN＞32得，

∵x＞2∴3x2﹣32（x﹣2）>0，即（3x﹣8）（x﹣8）＞0（x＞2）解得：即AN长的取值范围是

（2）

解法一：∵x＞2，∴

当且仅当，即x=4时，取“=”号即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米。

解法二：

∵∴

令S'=0得x=4当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0

当x=4时，S取极小值，且为最小值。

即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米。