Question

3．已知数列{a_n}的前n项和，S_n=n²+n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$+2ⁿ+3，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求得n=1，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简可得所求通项；
（2）求得数列b_n，再由分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=2n，
综上可得a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$+2ⁿ+3=n+2ⁿ+3，
前n项和T_n=（1+2+3+…+n）+（2+4+…+2ⁿ）+3n
=$\frac{1}{2}$n（n+1）+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+3n
=$\frac{1}{2}$n（n+7）+2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和，属于中档题．