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集合A满足:若a∈A,则有
2a2a+1
∈A

(1)若集合A为单元素集合,求a和集合A;
(2)是否存在实数a,使集合A中有且仅有两个元素;若存在,求出集合A,若不存在,说明理由;
(3)是否存在实数a,使集合A中有且仅有三个元素;若存在,求出集合A,若不存在,说明理由.
分析:(1)集合A为单元素集合,故a=
2a
2a+1
,解出即可;
(2)集合A中有且仅有两个元素,故a≠
2a
2a+1
并且a=
2a
2a+1
2a
2a+1
+1
,有解则集合存在,无解则集合不存在;
(3)若集合A中有且仅有三个元素,则a≠
2a
2a+1
a≠
2a
2a+1
2a
2a+1
+1
=
4a
6a+1
a=
4a
6a+1
4a
6a+1
+1
=
8a
14a+1
,有解则集合存在,无解则集合不存在.
解答:解:(1)由于集合A为单元素集合,故a=
2a
2a+1
,解得a=0或a=
1
2

当a=0时,集合={0};当a=
1
2
时,集合={
1
2
};
(2)集合A中有且仅有两个元素,故a≠
2a
2a+1
并且a=
2a
2a+1
2a
2a+1
+1
=
4a
6a+1

由于方程组无解,故不存在实数a,使集合A中有且仅有两个元素;
(3)若集合A中有且仅有三个元素,则a≠
2a
2a+1
a≠
2a
2a+1
2a
2a+1
+1
=
4a
6a+1
a=
4a
6a+1
4a
6a+1
+1
=
8a
14a+1

由于方程组无解,故不存在实数a,使集合A中有且仅有三个元素.
点评:此题主要考查元素与集合的关系,以方程的求解为载体,考查的知识点比较全面,是一道基础题;
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