Question

集合A满足：若a∈A，则有

2a

2a+1

∈A；
（1）若集合A为单元素集合，求a和集合A；
（2）是否存在实数a，使集合A中有且仅有两个元素；若存在，求出集合A，若不存在，说明理由；
（3）是否存在实数a，使集合A中有且仅有三个元素；若存在，求出集合A，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）集合A为单元素集合，故a=

2a

2a+1

，解出即可；
（2）集合A中有且仅有两个元素，故a≠

2a

2a+1

并且a=

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

，有解则集合存在，无解则集合不存在；
（3）若集合A中有且仅有三个元素，则a≠

2a

2a+1

，a≠

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，a=

2× 4a 6a+1

2× 4a 6a+1 +1

=

8a

14a+1

，有解则集合存在，无解则集合不存在．

解答：解：（1）由于集合A为单元素集合，故a=

2a

2a+1

，解得a=0或a=

1

2

当a=0时，集合={0}；当a=

1

2

时，集合={

1

2

}；
（2）集合A中有且仅有两个元素，故a≠

2a

2a+1

并且a=

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，
由于方程组无解，故不存在实数a，使集合A中有且仅有两个元素；
（3）若集合A中有且仅有三个元素，则a≠

2a

2a+1

，a≠

2× 2a 2a+1

2× 2a 2a+1 +1

=

4a

6a+1

，a=

2× 4a 6a+1

2× 4a 6a+1 +1

=

8a

14a+1

，
由于方程组无解，故不存在实数a，使集合A中有且仅有三个元素．

点评：此题主要考查元素与集合的关系，以方程的求解为载体，考查的知识点比较全面，是一道基础题；