Question

已知是二次函数，不等式的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1)求的解析式；
(2)是否存在自然数m，使得方程＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)
(2)存在唯一的自然数m＝3，使得方程在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．

解析试题分析：(1)为求函数的解析式，可根据是二次函数，且的解集是(0,5)，
设出应用“待定系数法”．
(2)首先注意到方程＝0等价于方程，从而，可通过研究函数
达到解题目的.
具体地，通过“求导数、求驻点、讨论导数的正负、确定函数的单调区间”，认识方程的根分布情况.
试题解析：
(1)∵是二次函数，且的解集是(0,5)，
∴可设．
∴在区间[－1,4]上的最大值是.
由已知，得                   5分
(2)方程＝0等价于方程
设
则．                          7分
当x∈时，，因此在此区间上是减少的；
当x∈时，，因此是在此区间上是增加的．
∵h(3)＝1>0，h＝<0，h(4)＝5>0，               10分
∴方程＝0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，
∴存在唯一的自然数m＝3，使得方程在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．                                       12分
考点：待定系数法，应用导数研究函数的单调性，函数方程.