Question

【题目】已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足 ，则△ABC面积的最大值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB， ∵tanA= ，tanB= ，
∴ = = = ，
∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA= ，即A= ，
∴cosA= = ，
∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S= bcsinA≤ ×3× = ，
则△ABC面积的最大值为： ．
所以答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．