Question

数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*），设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表达式；
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N^*时，g（2ⁿ）-

n

2

≥1．

Answer 1

分析：（1）直接利用数列{a_n}的通项公式为a_n=

1

(n+1)2

（n∈N^*），分别令n=1，2，3，4．即可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），两式相除得：
即可得出f（n）的表达式；
（3）先利用题中条件得出g（2ⁿ）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

．再设∅（n）=f（2ⁿ）-

n

2

，研究它的单调性，即数列{∅（n）}是单调递增数列，从而求得其最小值为∅（1），从而得到∅（n）≥1即得g（2ⁿ）-

n

2

≥1．

解答：解：（1）f（1）=

3

4

，f（2）=

2

3

，f（3）=

5

8

，f（4）=

3

5

．
（2）由f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
得：f（n-1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n-1）（n＞1），
两式相除得：

f(n)

f(n-1)

=1-a_n=1-

1

(n+1)2

=

n(n+2)

(n+1)2

（n＞1）．
∴

f(n)

f(n-1)

f(n-1)

f(n-2)

…

f(2)

f(1)

=

n(n+2)

(n+1)2

(n-1)(n+1)

n2

n(n-2)

(n-1)2

…

2×4

32

，

f(n)

f(1)

=

n(n-1)(n-2)…2

(n+1)n…3

•

(n+2)(n+1)…4

(n+1)n…3

=

2

n+1

•

n+2

3

，
∴f（n）=

n+2

2(n+1)

（n＞1），又f（1）=

3

4

适合此式，
∴f（n）=

n+2

2(n+1)

．
（3）b _n+1=2f（n）-1=

1

n+1

，
g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴g（2ⁿ）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

．
设∅（n）=f（2ⁿ）-

n

2

，
则∅（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

-

n

2

．
∅（n+1）-∅（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

-

n+1

2

-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

-

n

2

）
=

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

-

1

2

．
∵

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

的项数为2ⁿ，
∴

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

＞

1

2n+1

+

1

2n+1

+…+

1

2n+1

=

1

2n+1

×2n=

1

2

，
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即数列{∅（n）}是单调递增数列．
其最小值为∅（1）=g（2）-

1

2

=1
∴∅（n）≥1即g（2ⁿ）-

n

2

≥1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列的函数特性、数列的求和、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．