Question

11．已知函数f（x）=x|x-m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可；
（2）化为分段函数，作图，由图得到函数的单调区间；
（3）方程的解转化为图象交点的个数问题，由图可知．

解答 解：（1）∵f（4）=0，
∴4|4-m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x-4|=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x≥4\\-{x^2}+4x，x＜4\end{array}\right.$图象如图所示：
由图象可知，函数在（-∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，
由图可知k∈（0，4）．

点评 本题考查了函数图象的画法和识别，属于基础题．