Question

【题目】已知函数f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然对数的底数）．
（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的导函数f'（x）=（ax﹣1+a）ex，

则f'（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，且等号不恒成立，

又ex＞0，所以ax﹣1+a≤0在区间[1，2]上恒成立，

记g（x）=ax﹣1+a，只需 ，即 ，解得 且a≠0

（2）解：由f'（x）=（ax﹣1+a）ex=0，得 ，

①当a＜0时，有 ； ，

所以函数f（x）在 单调递增， 单调递减，

所以函数f（x）在 取得极大值 ，没有极小值．

②当a＞0时，有 ； ，

所以函数f（x）在 单调递减， 单调递增，

所以函数f（x）在 取得极小值 ，没有极大值．

综上可知：当a＜0时，函数f（x）在 取得极大值 ，没有极小值；

当a＞0时，函数f（x）在 取得极小值 ，没有极大值

（3）解：设切点为T（t，（at﹣1）et），

则曲线在点T处的切线l方程为y﹣（at﹣1）et=（at﹣1+a）（x﹣t）et，

当 时，切线l的方程为 ，其在x轴上的截距不存在．

当 时，令y=0，得切线l在x轴上的截距为：

= = = = ，…（12分）

当 时， ，

当且仅当 ，即 或 时取等号

当 时， ，

当且仅当 ，即 或 时取等号．

所以切线l在x轴上的截距范围是

【解析】（1）根据已知可判断函数极值的情况，先找导数为零的点，再判断导数为零的点的左、右两侧的导数符号。（2）根据已知函数求极值求f'（x），令f'（x）=0的求出根并列表检验f'（x）在f'（x）=0的根的附近两侧的符号进而得到结果。（3）利用已知极值求参数，若函数f(x)在点极值处取得极值，则f'（x）=0，且在该点左右两侧的导数值符号相反。，进而得出切线l在x轴上的截距范围。
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．