Question

为抗议日本“购买”钓鱼岛，某汽车4S店计划销售一种印有“钓鱼岛是中国的”车贴，已知车贴的进价为每盒10元，并且车贴的进货量由销售量决定．预计这种车贴以每盒20元的价格销售时该店可销售2000盒，经过市场调研发现：每盒车贴的价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒车贴的销售价格为x元（10＜x≤26），x∈N^*．
（1）求销售这种车贴所获得的利润y（元）与每盒车贴的销售价格x的函数关系式；
（2）当每盒车贴的销售价格x为多少元时，该店销售这种车贴所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒车贴的销售价格为x（10＜x≤26），得到y与x的函数关系式，是一个分段函数．
（Ⅱ）分别求出各段函数的最大值比较最大得到最大值．

解答：解：（1）依题意y=

[2000+400(20-x)](x-10) ，10＜x≤20 [2000-200(x-20)](x-10)，20＜x≤26

=

400(25-x)(x-10) ，10＜x≤20 200(30-x)(x-10)，20＜x≤26

，x∈N^*，…（5分）
（2）y=

-400(x-17.5)2+22500，10＜x≤20 -200(x-20)2+20000，20＜x≤26

        …（8分）
当10＜x≤20时，x=17或18，y_max=22400（元）；
当20＜x≤26时，y＜20000，取不到最大值…（11分）
综上可得，当x=17或18时，该店获得的利润最大为22400元．…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．