Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，且|PF₁|=

1

2

，|F1F2|=2

3

．
（I）求椭圆C的方程．
（II）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|F1F2|=2

3

，知c=

3

．由PF₁⊥F₁F₂，知|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=

49

4

，|PF2|=

7

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，由

y=kx+1 x2+4y2

=4，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，由此知存在三个内接等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2

3

∴c=

3

又PF₁⊥F₁F₂，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2=

49

4

，|PF2|=

7

2

，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4则c=

3

，∴a=2，b²=1
∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．（6分）
（Ⅱ）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），
由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，
故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为y=-

1

k

x+1，
由

y=kx+1 x2+4y2

=4，得A(-

8k

1+4k2

，-

8k2

1+4k2

+1)，
∴|AB|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8|k| 1+k2

1+4k2

，（9分）
用-

1

k

代替上式中的k，得|BC|=

8 1+k2

4+k2

，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²
∵k＜0，∴解得：k=-1或k=

-3± 5

2

，故存在三个内接等腰直角三角形．（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意椭圆性质的灵活运用，合理地进行等价转化．