Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量 =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），且 ． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积 ，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），

∴ ，即 ，

∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，可得cos（B+C）= ，

即 ，结合A∈（0，π），可得 ．

（Ⅱ）∵△ABC的面积 = = ，

∴ ，可得bc=4．

又由余弦定理得： =b2+c2+bc，

∴a2=（b+c）2﹣bc=16﹣4=12，解之得 （舍负）．

【解析】（Ⅰ）由向量数量积的坐标运算公式，结合 算出 ，利用三角形内角和定理和π﹣α的诱导公式可得 ，结合A∈（0，π）即可算出角A的大小；

（Ⅱ）根据正弦定理的面积公式，结合△ABC的面积为 算出bc=4． 再用余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，代入数据即可算出a2=12，从而可得 ．