Question

9．已知数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）n+10a，n≤6}\\{{a}^{n-7}，n＞6}\end{array}\right.$（n∈N^*），若{a_n}是递减数列，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{8}$）．

Answer 1

分析 由已知利用指数函数、一次函数与数列的单调性可得：$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}_{6}=6-8a＞{a}_{7}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（1-3a）n+10a，n≤6}\\{{a}^{n-7}，n＞6}\end{array}\right.$（n∈N^*），{a_n}是递减数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＜0}\\{0＜a＜1}\\{{a}_{6}=6-8a＞{a}_{7}=1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{5}{8}$．
则实数a的取值范围是$（\frac{1}{3}，\frac{5}{8}）$．
故答案为：$（\frac{1}{3}，\frac{5}{8}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、指数函数、一次函数与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．