Question

已知：动圆M与圆F：（x-1）²+y²=1内切，且与直线l：x=-2相切，动圆圆心 M的轨迹为曲线Γ
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过曲线Γ上的点 P（x₀，2）引斜率分别为k₁，k₂的两条直线l₁、l₂，直线l₁、l₂与曲线Γ的异于点P的另一个交点分别为A、B，若k₁k₂=4，试探究：直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出该定点的坐标，若不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意可得：动点M满足到定点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1，即到直线：x=-1的距离相等，利用抛物线的定义即可得出．
（2）把点 P（x₀，2）代入抛物线方程可得2²=4x₀，可得P（1，2）．若直线AB的斜率不存在，与k₁k₂=4矛盾，舍去．因此可设直线AB的方程为y=kx+b，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，k1=

y1-2

x1-1

，k2=

y2-2

x2-1

，由k₁k₂=4，可得（k²-4）x₁x₂+（kb-2k+4）（x₁+x₂）+b²-4b=0，（*）联立

y=kx+b y2=4x

，化为k²x²+（2kb-4）x+b²=0，把根与系数的关系代入（*）可得：（b+2）（k+b-2）=0，即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得：动点M满足到定点F（1，0）的距离比到直线l：x=-2的距离小1，即到直线：x=-1的距离相等，
因此M的轨迹曲线Γ为抛物线：y²=4x．
（2）把点 P（x₀，2）代入抛物线方程可得2²=4x₀，解得x₀=1，∴P（1，2）．
若直线AB的斜率不存在，则k₁与k₂异号，与k₁k₂=4矛盾，舍去．
可设直线AB的方程为y=kx+b，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，k1=

y1-2

x1-1

，k2=

y2-2

x2-1

，
由k₁k₂=4，可得y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=4[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∴（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+kx₂+2b）+4=4[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
化为（k²-4）x₁x₂+（kb-2k+4）（x₁+x₂）+b²-4b=0，（*）
联立

y=kx+b y2=4x

，化为k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∴x1+x2=

4-2kb

k2

，x1x2=

b2

k2

，代入（*）可得：（b+2）（k+b-2）=0，
∵A，B均异于点P（1，2），且直线与抛物线最多有两个交点，
∴点P（1，2）不在直线AB上，k+b≠2，
∴b=-2，此时直线AB的方程为y=kx-2，
可知：直线AB恒过定点（0，-2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．