Question

4．已知函数f（x）=k（x+1）²-x，g（x）=lg（x+k）（k∈R）．
（1）若f（1）=23，求函数g（x）在区间（4，+∞）上的值域；
（2）当0＜g（1）≤1时，函数f（x）在区间[0，2]上的最小值大于h（x）=$\frac{1}{{tan}^{2}x}$+$\frac{4}{{cos}^{2}x}$在（0，$\frac{π}{4}$]上的最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=23，求得k=6，再由对数函数的单调性，可得g（x）的值域；
（2）由0＜g（1）≤1时，求得k的范围，再由函数f（x）在区间[0，2]上的最小值可能是顶点处或端点处取得，求得k的范围，再由同角的基本关系式，结合基本不等式，可得g（x）的最小值为8，再解不等式即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）f（1）=23，即为4k-1=23，解得k=6，
g（x）=lg（x+6），
由g（x）在（4，+∞）上递增，即有g（x）＞1，
则g（x）的值域为（1，+∞）；
（2）当0＜g（1）≤1，即为0＜lg（1+k）≤1，
可得0＜k≤9，
函数f（x）=k（x+1）²-x=kx²+（2k-1）x+k，
对称轴为x=-1+$\frac{1}{2k}$，
即有f（x）的最小值只能在对称轴或两端点处取得．
若f（0）=k为最小值，即有[0，2]递增，即-1+$\frac{1}{2k}$≤0，
解得$\frac{1}{2}$≤k≤9；
若f（2）=9k-2为最小值，即有[0，2]递减，即-1+$\frac{1}{2k}$≥2，
解得0＜k≤$\frac{1}{6}$；
若对称轴处取得最小值1-$\frac{1}{4k}$，即有0＜-1+$\frac{1}{2k}$＜2，
解得$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$．
h（x）=$\frac{1}{{tan}^{2}x}$+$\frac{4}{{cos}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$-1
=（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）-1
=4+$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$≥4+2$\sqrt{\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}•\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}}$=8，
当且仅当$\frac{co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}$=$\frac{4si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$，即有tanx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈（0，1]，取得最小值8．
（由0＜x≤$\frac{π}{4}$，可得0＜tanx≤1），
由题意可得当$\frac{1}{2}$≤k≤9，且k＞8，即有8＜k≤9；
当0＜k≤$\frac{1}{6}$，且9k-2＞8，即有k∈∅；
当$\frac{1}{6}$＜k＜$\frac{1}{2}$时，且1-$\frac{1}{4k}$＞8，解得k∈∅．
综上可得k的范围是（8，9]．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查三角函数的最值求法，注意运用平方关系和基本不等式，同时考查对数函数的单调性的运用，属于中档题．