Question

已知命题p：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，

1

a

+

1

b

=3；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立．则命题?p且q是

真

命题（填“真”或“假”）．

Answer 1

分析：对于命题p，可以利用基本不等式求出当正数a、b满足a+b=1时，

1

a

+

1

b

的最小值为4，从而

1

a

+

1

b

=3不能成立，得到p是假命题；再看命题q，通过配方可得x²-x+1的最小值为

3

4

，从而不等式x²-x+1≥0恒成立，得到命题q是真命题．由此不难得出正确结论．

解答：解：先看命题p：
∵a，b∈（0，+∞），且a+b=1
∴

1

a

+

1

b

=(a+b)(

1

a

+

1

b

)=2+

b

a

+

a

b

而

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，当且仅当正数a=b时取值等号
∴

1

a

+

1

b

的最小值为4，
说明命题p：：?a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，

1

a

+

1

b

=3是错误的；
再看命题q：
∵x²-x+1=(x-

1

2

) 2 +

3

4

≥

3

4

，当且仅当x=

1

2

时取值等号
∴命题q：?x∈R，x²-x+1≥0恒成立，是真命题．
∵p是假命题，说明?p是真命题，并且q是真命题
∴?p且q是真命题
故答案为：真

点评：本题以不等式恒成立和函数的值域为载体，考查了复合命题真假的判断，属于中档题．