Question

6．求值．
（1）已知$tanα=\sqrt{2}$，求1+sin2α+cos²α的值；

（2）求：$\frac{{2sin{{50}°}+sin{{80}°}（1+\sqrt{3}tan{{10}°}）}}{{\sqrt{1+sin{{100}°}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）利用诱导公式，两角差的三角公式，化简要求式子，可得结果．

解答 解：（1）∵已知$tanα=\sqrt{2}$，∴1+sin2α+cos²α=$\frac{{sin}^{2}α+2sinαcosα+{2cos}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$
=$\frac{{tan}^{2}α+tanα+2}{{tan}^{2}α+1}$=$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$．
（2）$\frac{{2sin{{50}°}+sin{{80}°}（1+\sqrt{3}tan{{10}°}）}}{{\sqrt{1+sin{{100}°}}}}$=$\frac{2sin50°+cos10°•\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}}{\sqrt{{（sin50°+cos50°）}^{2}}}$
=$\frac{2sin50°+2（\frac{1}{2}cos10°+\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°）}{sin50°+cos50°}$=$\frac{2sin50°+2sin40°}{sin50°+cos50°}$=$\frac{2sin50°+2cos50°}{sin50°+cos50°}$=2，

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角差的三角公式的应用，属于基础题．