Question

已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设g(x)=lnx.求证:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.

Answer 1

(1) f(x)=   (2)见解析

(1)将x=-1代入切线方程得y=-2.
∴f(-1)==-2,化简得b-a=-4.
又f'(x)=,
∴f'(-1)====-1,
则可得
解得a=2,b=-2,
∴f(x)=.
(2)由已知得lnx≥在[1,+∞)上恒成立,
化简得(x²+1)lnx≥2x-2,
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.
设h(x)=x²lnx+lnx-2x+2,
则h'(x)=2xlnx+x+-2,
∵x≥1,∴2xlnx≥0,
x+≥2,即h'(x)≥0,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴h(x)≥h(1)=0,
∴g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.