Question

【题目】已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若 属于集合M，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）=2x+bx2 ， 求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．

Answer 1

【答案】
（1）解：当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）3t+8=3t+10

此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），

故f（x）=3x+2不属于集合M

（2）解：由 属于集合M，可得

方程 有实解a[（x+2）2+2]=6（x2+2）有实解（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，

若a=6时，上述方程有实解；

若a≠6时，有△=16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得 ，

故所求a的取值范围是

（3）解：当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b3×2x+4bx﹣4=0，

令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，

当b≥0时，g（0）=﹣1＜0，g（1）=2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）=﹣1＜0， ，故g（x）在 内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M

【解析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M．（2）由 属于集合M，推出 有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）=0有实解，若a=6时，若a≠6时，利用判断式求解即可．（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）3×2x+4bx﹣4=0，令g（x）=3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．