分析 (1)求出函数的导数,求出切线,得到a的值,结合三角函数的性质求出函数的单调性即可;
(2)记$h(x)=f({\frac{x}{a}})g(x)-kx={e^x}sinx-kx$,求出函数的导数,通过讨论k的范围结合三角函数的性质,求出k的具体范围即可.
解答 解:(1)由f(x)=eax,知f'(x)=aeax,
曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为f'(0)=a.
由g(x)=sinx知g'(x)=cosx,曲线y=g(x)在x=0处的切线为g'(0)=1,
因为曲线y=f(x)与y=g(x)在x=0处的切线相互平行,
所以a=1,y'=f'(x)+g'(x)=ex+cosx,
当x=0时,y'=f'(0)+g'(0)=2>0.
当x∈(-1,0)时,ex∈(0,1),cosx∈(0,1),
从而y'=f'(x)+g'(x)=ex+cosx>0;
当x∈(0,+∞)时,ex∈(0,+∞),cosx∈[-1,1],
从而y'=f'(x)+g'(x)=ex+cosx>0,
故y=f(x)+g(x)在(-1,+∞)上单调递增.
(2)记$h(x)=f({\frac{x}{a}})g(x)-kx={e^x}sinx-kx$,
原问题即求k的取值范围,
使h(x)>0对$x∈({0,\frac{π}{2}})$恒成立,
h'(x)=ex(sinx+cosx)-k,
又记φ(x)=ex(sinx+cosx),
则当$x∈({0,\frac{π}{2}})$时,φ'(x)=2excosx>0,
所以φ(x)在$({0,\frac{π}{2}})$上单调递增,
从而$φ(0)<φ(x)<φ({\frac{π}{2}})$,即$1<φ(x)<{e^{\frac{π}{2}}}$.
①若k≤1,则$h'(x)>0,x∈({0,\frac{π}{2}})$,
从而h(x)在$({0,\frac{π}{2}})$上单调递增,
所以h(x)>h(0)=0.
此时,不等式成立.
②若$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$,则$h'(x)<0,x∈({0,\frac{π}{2}})$,
从而h(x)在(0,1)上单调递减,
所以h(x)<h(0)=0.此时,
不等式不恒成立.
③若$1<k≤{e^{\frac{π}{2}}}$,则存在唯一的${x_0}∈({0,\frac{π}{2}})$,
使得h'(x0)=0,即${e^{x_0}}({sin{x_0}+cos{x_0}})=k$,
$h({x_0})={e^{x_0}}sin{x_0}-k{x_0}={e^{x_0}}sin{x_0}-{x_0}{e^{x_0}}({sin{x_0}+cos{x_0}})={e^{x_0}}[{sin{x_0}+{x_0}({sin{x_0}+cos{x_0}})}]$,
因为${x_0}∈({0,\frac{π}{2}})$,所以0<sinx0<x0且cosx0>0,
从而sinx0-x0(sinx0+cosx0)
<sinx0-sinx0(sinx0+cosx0)
=sinx0[1-(sinx0+cosx0)]
=$sin{x_0}[{1-\sqrt{2}sin({{x_0}+\frac{π}{4}})}]$,
又因为${x_0}∈({0,\frac{π}{2}})$,所以$1<\sqrt{2}sin({{x_0}+\frac{π}{4}})≤\sqrt{2}$,
从而$sin{x_0}[{1-\sqrt{2}sin({{x_0}+\frac{π}{4}})}]<0$,
得sinx0-x0(sinx0+cosx0)<0又${e^{x_0}}>0$,
所以$h({x_0})={e^{x_0}}[{sin{x_0}-{x_0}({sin{x_0}+cos{x_0}})}]<0$,
不等式不恒成立.
综上,当且仅当k≤1时,对任意$x∈({0,\frac{π}{2}})$,都有f(${\frac{x}{a}}$)g(x)>kx.
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想,是一道综合题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ρcosθ=$\frac{1}{2}$ | B. | ρcosθ=2 | C. | ρ=4sin(θ+$\frac{π}{3}$) | D. | ρ=4sin(θ-$\frac{π}{3}$) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{h}$=$\frac{1}{R}$+$\frac{1}{r}$ | B. | $\frac{1}{h}$=$\frac{1}{R}$+$\frac{1}{r}$ | C. | $\frac{1}{r}$=$\frac{1}{R}$+$\frac{1}{h}$ | D. | $\frac{2}{R}$=$\frac{1}{r}$+$\frac{1}{h}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{\sqrt{21}}{7}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 15° | B. | 30° | C. | 45° | D. | 60° |
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