Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，M是AD上一点．

（1）求证：AB⊥PM；
（2）若N是PB的中点，且AN∥平面PCM，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，

∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD，

又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，

而PM平面PAD，

∴AB⊥PM；

（2）解：如图，取PC中点E，连接NE，ME，

∵N是PB中点，∴NE∥BC，

又∵BC∥AM，∴NE∥AM，

故N，E，A，M四点共面．

∵AN∥平面PCM，AN平面ANEM，平面ANEM∩平面PCM=EM，

∴AN∥ME．

故四边形ANEM是平行四边形，

∴AM=NE= ，

∴ = ．

【解析】1、由已知，PA⊥平面ABCD得到，PA⊥AB；再根据已知可得，AB⊥AD，利用线面垂直的判定定理可得证，AB⊥平面PAD，PM平面PAD，

即得证：AB⊥PM；

2、根据题意作辅助线，取PC中点E，连接NE，ME。根据条件利用线面平行的性质定理得证：NE∥AM，AN∥ME，可得四边形NEMA为平行四边形，因为N是PB的中点，故有AM=NE= B C = A D ，即得结果。