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4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表,已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料,设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数.
 磷酸盐(t)硝酸盐(t)
生产1车皮甲种肥料418
生产1车皮乙种肥料115
(1)列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)若生产1车皮甲种肥料,产生的利润为1万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为0.5万,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?最大利润是多少?

分析 (1)根据两种原料必须同时够用,即可得到列出不等式组,每个不等式表示一条直线一边的部分,画出可行域;
(2)设生产甲肥料x车皮,乙种肥料y车皮,能够产生最大的利润,利用线性规划的知识进行平移求解即可.

解答 解:(1)x,y满足的线性约束条件为$\left\{{\begin{array}{l}{4x+y≤10}\\{18x+15y≤66}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}}\right.$,
可行域如图.
(2)设生产甲肥料x车皮,乙种肥料y车皮,能够产生最大的利润,
则目标函数为z=x+$\frac{1}{2}$y,即y=-2x+2z.
平移直线y=-2x+2z.
由图可知当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时,截距z最大,
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{18x+15y=66}\\{4x+y=10}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}}\right.$,
此时z=2+$\frac{1}{2}$×2=2+1=3,
所以zmx=3.
答:分别生产甲、乙两种肥料各2车皮,能够产生最大的利润,最大的利润为3万元.

点评 本题主要考查了简单线性规划的应用,根据条件设出变量,建立约束条件以及目标函数,利用数形结合进行求解是解决本题的关键.

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