Question

如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD、BC相交于点E.

(1)若AD＝AC，求证：AP∥CD；
(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2，PB＝4，求PA的长．

Answer 1

(1)若AD＝AC，AP∥CD；(2) PA＝6.

(1)∵PA是⊙O的切线，AD是弦，
∴∠PAD＝∠ACD.
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠PAD＝∠ADC，
∴AP∥CD.
(2)∵∠EDF＝∠P，又∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF△PEA，有＝，
即EF·EP＝EA·ED.而AD、BC是⊙O的相交弦，
∴EC·EB＝EA·ED，
故EC·EB＝EF·EP，
∴EC＝＝＝3.
由切割线定理有PA²＝PB·PC＝4×(3＋2＋4)＝36，
∴PA＝6.