Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）如图（1），若，求证：平面；

（Ⅲ）如图（2），若是的中点，,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，在直角梯形，由，平面，从而证得；

（Ⅱ）连交于点，连，易证得.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，就是二面角的平面角.由余弦定理即可求得.

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵底面，

∴.

∵，,

∴.

∴.

∴，即.

又平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）证明：连交于点，连，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴.

又平面，平面，

∴平面.

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面，

∴就是二面角的平面角.

∵,

∴.

∵是的中点，

∴.

∴.

∴二面角的余弦值为.