Question

函数y=2^2x-2^x+2+7，定义域为[m，n]，值域为[3，7]，则n+m的最大值

3

．

Answer 1

分析：利用换元法将函数进行转换为一元二次函数，然后利用一元二次函数的单调性确定m，n．

解答：解：因为y=2^2x-2^x+2+7=（2^x）²-4?2^x+7，令t=2^x，
因为m≤t≤n，所以2^m≤t≤2ⁿ．
所以原函数等价为y=f（t）=t²-4t+7=（t-2）²+3，
因为函数的值域为[3，7]，所以当t=2时，y=3．
由（t-2）²+3=7，解得t=0（舍去）或t=4．
当t=2时，得2^x=2，解得x=1．当t=4时，得2^x=4，即x=2．
所以函数的定义域为[m，2]（0≤m≤1），所以当m=1，n=2时，m+n最大为3．
故答案为：3．

点评：本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，利用换元法是解决本题的关键，综合性性较强，难度较大．