【题目】综合题
(1)解不等式:3≤x2﹣2x<8;
(2)已知a,b,c,d均为实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 .
【答案】
(1)解:不等式:3≤x2﹣2x<8,
即: ,解得: ,即x∈(﹣2,﹣1]∪[3,4).
(2)证明:∵(a2+b2)(c2+d2)﹣(ac+bd)2
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2
=a2d2+b2c2﹣2abcd
=(ad﹣bc)2≥0
∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
【解析】(1)直接利用二次不等式化简求解即可.(2)利用作差法化简,证明即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解不等式的证明的相关知识,掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2, .
(1)若△ABC的面积等于 ,求a,b;
(2)若sinB=2sinA,求△ABC的面积.
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【题目】北京市为了缓解交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为调查公众对该路段“交通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查,将调查情况进行整理,制成表:
年龄(岁) | [15,30) | [30,45) | [45,60) | [60,75) |
人数 | 24 | 26 | 16 | 14 |
赞成人数 | 12 | 14 | x | 3 |
(1)若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40,求x的值;
(2)在(1)的条件下,若从年龄在[45,60),[60,75)内的两组赞成“交通限行”的人中在随机选取2人进行进一步的采访,求选中的2人中至少有1人来自[60,75)内的概率.
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【题目】已知函数f(x)=( )x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1﹣x2),则关于函数y=h(x)的下列4个结论: ①函数y=h(x)的图象关于原点对称;
②函数y=h(x)为偶函数;
③函数y=h(x)的最小值为0;
④函数y=h(x)在(0,1)上为增函数
其中,正确结论的序号为 . (将你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】现代城市大多是棋盘式布局(如上海道路几乎都是东西和南北走向).在这样的城市中,我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离(位移),而是实际路程(如图).在直角坐标平面内,我们定义A(x1 , y1)、B(x2 , y2)两点间的“直角距离”为:D(AB)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.
(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的“直角距离”
为2的“格点”的坐标;(格点指横、纵坐标均为整数的点)
(2)定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形,点A(1,3),B(1,1),C(3,3),求经过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图象;
(3)设P(x,y),集合B表示的是所有满足D(PO)≤1的点P所组成的集合,
点集A={(x,y)|﹣1≤x≤1,﹣1≤y≤1},
求集合Q={(x,y)|x=x1+x2 , y=y1+y2 , (x1 , y1)∈A,(x2 , y2)∈B}所表示的区域的面积.
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【题目】已知函数f(x)=b+logax(x>0且a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,﹣1).
(1)求f(x)的解析式;
(2)[f(x)]2=3f(x),求实数x的值;
(3)令y=g(x)=2f(x+1)﹣f(x),求y=g(x)的最小值及其最小值时x的值.
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【题目】已知数列{bn}的前n项和是Sn , 且bn=1﹣2Sn , 又数列{an}、{bn}满足点{an , 3 }在函数y=( )x的图象上.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=anbn+ ,求数列{an}的前n项和Tn .
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【题目】将正弦曲线y=sinx上所有的点向右平移 π个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式y= .
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