在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*.
(1)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(2)在平面直角坐标系xoy面上,设点Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点Mn在直线l上,Mn中最高点为Mk,若称直线l与x轴.直线x=a,x=b所围成的图形的面积为直线l在区间[a,b]上的面积,试求直线l在区间[x3,xk]上的面积;
(3)若存在圆心在直线l上的圆纸片能覆盖住点列Mn中任何一个点,求该圆纸片最小面积.
【答案】
分析:本题是解析几何、数列、极限多知识点融合一体的综合性题,重点考查数列中a
n和S
n的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、前n项和、直线方程的应用、极限的思想等;
(1)该小题较易,利用a
n=s
n-s
n-1就可以把已知条件转化为关于a
n的递推关系,进而得到{a
n}为等差数列,其通项公式、前n项和易得;
(2)根据题意可得点M
n(
+
,
),令x=
,y=
,消去n得关于x、y的方程,再根据y=
是n的减函数可得M
1为M
n中的最高点,且M
1(1,1),又满足条件的图形为直角梯形,从而求得其面积;
(3)根据直线C:3x-2y-1=0上的点列M
n依次为M
1(1,1),M
2(
,
),M
3(
,
),…,M
n(
,
),可得其极限点M(
,
),从而|M
1M|,最小圆纸片的面积即得.
解答:解:(1)由已知得2S
n=2a
n2+a
n-1①
故2S
n+1=2a
n+12+a
n+1-1②
②-①得2a
n+1=2a
n+12-2a
n2+a
n+1-a
n结合a
n>0,得a
n+1-a
n=
∴{a
n}是等差数列
又n=1时,2a
1=a
12+a
1-1,解得a
1=1或a
1=
∵a
n>0,∴a
1=1
又d=
,故a
n=1+
(n-1)=
n+
∴S
n=n+
=
n
2+
n;
(2)∵a
n=nx
n,S
n=n
2y
n∴x
n=
=
+
,y
n=
=
+
即得点M
n(
+
,
)
设x=
,y=
,
消去n,得3x-2y-1=0,
即直线C的方程为3x-2y-1=0
又y=
是n的减函数
∴M
1为M
n中的最高点,且M
1(1,1)
又M
3的坐标为(
,
)
∴C与x轴.直线x=
,x=1围成的图形为直角梯形
从而直线C在[
,1]上的面积为
S=
×(
+1)×(1-
)=
;(9分)
(3)由于直线C:3x-2y-1=0上的点列M
n依次为
M
1(1,1),M
2(
,
),M
3(
,
),
M
n(
,
),
而
(
)=
,
(
)=
因此,点列M
n沿直线C无限接近于极限点M(
,
)
又
|M
1M|=
=
所以最小圆纸片的面积为
.
点评:本题题型大,覆盖面广,应用知识丰富,是一个难度大的题目;要正确的解好本题,不仅具备全面的知识方法,还需要一定的耐力,有时解题的意志力也是决定题目是否解出的重要因素,本题的解答就是一个很好的例证;所以解题过程中,不仅积累知识和方法,还是培养人的耐心的方式,是对人的心理因素的考验.