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在各项均为正数的数列{an}中,前n项和Sn满足2Sn+1=an(2an+1),n∈N*
(1)证明{an}是等差数列,并求这个数列的通项公式及前n项和的公式;
(2)在平面直角坐标系xoy面上,设点Mn(xn,yn)满足an=nxn,Sn=n2yn,且点Mn在直线l上,Mn中最高点为Mk,若称直线l与x轴.直线x=a,x=b所围成的图形的面积为直线l在区间[a,b]上的面积,试求直线l在区间[x3,xk]上的面积;
(3)若存在圆心在直线l上的圆纸片能覆盖住点列Mn中任何一个点,求该圆纸片最小面积.
【答案】分析:本题是解析几何、数列、极限多知识点融合一体的综合性题,重点考查数列中an和Sn的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、前n项和、直线方程的应用、极限的思想等;
(1)该小题较易,利用an=sn-sn-1就可以把已知条件转化为关于an的递推关系,进而得到{an}为等差数列,其通项公式、前n项和易得;
(2)根据题意可得点Mn+),令x=,y=,消去n得关于x、y的方程,再根据y=是n的减函数可得M1为Mn中的最高点,且M1(1,1),又满足条件的图形为直角梯形,从而求得其面积;
(3)根据直线C:3x-2y-1=0上的点列Mn依次为M1(1,1),M2),M3),…,Mn),可得其极限点M(),从而|M1M|,最小圆纸片的面积即得.
解答:解:(1)由已知得2Sn=2an2+an-1①
故2Sn+1=2an+12+an+1-1②
②-①得2an+1=2an+12-2an2+an+1-an
结合an>0,得an+1-an=
∴{an}是等差数列
又n=1时,2a1=a12+a1-1,解得a1=1或a1=
∵an>0,∴a1=1
又d=,故an=1+(n-1)=n+
∴Sn=n+=n2+n;
(2)∵an=nxn,Sn=n2yn
∴xn==+,yn==+
即得点Mn+
设x=,y=
消去n,得3x-2y-1=0,
即直线C的方程为3x-2y-1=0
又y=是n的减函数
∴M1为Mn中的最高点,且M1(1,1)
又M3的坐标为(
∴C与x轴.直线x=,x=1围成的图形为直角梯形
从而直线C在[,1]上的面积为
S=×(+1)×(1-)=;(9分)
(3)由于直线C:3x-2y-1=0上的点列Mn依次为
M1(1,1),M2),M3),
Mn),
)=)=
因此,点列Mn沿直线C无限接近于极限点M(
|M1M|==
所以最小圆纸片的面积为
点评:本题题型大,覆盖面广,应用知识丰富,是一个难度大的题目;要正确的解好本题,不仅具备全面的知识方法,还需要一定的耐力,有时解题的意志力也是决定题目是否解出的重要因素,本题的解答就是一个很好的例证;所以解题过程中,不仅积累知识和方法,还是培养人的耐心的方式,是对人的心理因素的考验.
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(Ⅲ)是否存在圆心在直线C上的圆,使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部?若存在,求出符合题目条件的半径最小的圆;若不存在,请说明理由.

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