Question

5．已知函数f（x）=|x|+|x-1|，g（x）=-|x-4|+m．
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+1-m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为||x|+|x-1|-4|＜1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为m＜|x|+|x-1|+|x-4|恒成立，求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由g[f（x）]+2-m＞0
得：||x|+|x-1|-4|＜1，
∴3＜|x|+|x-1|＜5，
故不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3）；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，
即m＜|x|+|x-1|+|x-4|恒成立，
令h（x）=|x|+|x-1|+|x-4|，
①x≥4时，h（x）=3x-5，h（x）∈[7，+∞），
②1＜x＜4时，h（x）=x+3，h（x）∈（4，7），
③0≤x≤1时，h（x）=5-x，h（x）∈[4，5]，
④x＜0时，h（x）=5-3x，h（x）∈（5，+∞），
故h（x）的最小值是4，
∴m的取值范围为m＜4．

点评 本题考查了绝对值不等式的意义，解绝对值不等式问题，是一道中档题．