Question

14．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sinA、sinB、sinC成等比数列，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≤$\frac{2}{ac}$，则△ABC的形状为等边三角形．

Answer 1

分析 由题意可得b²=ac，再由已知式子和不等式的性质可得a=c，可得等边三角形．

解答 解：∵sinA、sinB、sinC成等比数列，
∴sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得b²=ac，
又∵$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{c}^{2}}$≤$\frac{2}{ac}$，∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$≤$\frac{2}{ac}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$≤2，即a²+c²≤2ac，
∴a²+c²-2ac≤0，即（a-c）²≤0，
又（a-c）²≥0，∴（a-c）²=0，即a=c，
代入b²=ac可得b=a，即a=b=c，
故△ABC为等边三角形
故答案为：等边三角形

点评 本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理和不等式的性质，属基础题．