Question

已知f(x)=

(x-2)2

x

+m-6为定义域上的奇函数（其中m为常数），
（Ⅰ）试求出实数m的值和f（x）解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值为m，试求实数a的值．

Answer 1

分析：（I）由奇函数的定义知f（-x）+f（x）=0恒成立，将函数的解析式代入此方程，得到参数m的方程，求出m的值，即得函数的解析式．
（II）本题中所给的函数g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）单调性不定，故要按底数的取值范围进行分类讨论，得出函数的单调性，然后确定函数的最值在何处取到，利用函数解析式建立实数a的值，求值．

解答：解：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，
且f(x)=

x2-4x+4

x

+m-6=x+

4

x

+m-10
对任意x∈{x∈R|x≠0}，由奇函数性质，有f（-x）+f（x）=0恒成立
所以，(-x+

4

-x

+m-10)+x+

4

x

+m-10=0即2m-20=0恒成立，
∴m=10，f(x)=x+

4

x

（Ⅱ）函数g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值为10，
当a＞1时，a^x为R上单调递增函数，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上单调递增，g（x）_最大=g（2）=10
即：2a²-22=10，即a²=16，从而，a=4
当0＜a＜1时，a^x为R上单调递减函数，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上单调递减，g（x）_最大=g（-2）=10
即：2a^-2-22=10，即a^-2=16，从而，a=

1

4

综上，实数a的值为4或

1

4

．

点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，考查利用函数的奇偶性建立方程求参数，以及利用函数的单调性确定函数最值的取到到位置利用最值建立方程求参数，由此题的求解过程可以得到，函数的奇偶性与函数的最值都是一个等量关系，解题时要注意这些等量关系的使用．