Question

设函数f（x）=x³-ax²+3x+b，a，b是实常数，其图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）若对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）求导函数可得f′（x）=3x²-2ax+3，∴f′（1）=6-2a
∵图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴
∴f′（1）=0
∴6-2a=0，∴a=3；
（2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]上恒成立；
令g（x）=-x³+6x²-9x+3，x∈[-1，4]，只要b＞g_max（x）
∵g′（x）=-3x²+12x-9
令g′（x）＞0，可得1＜x＜3，令g′（x）＜0，可得x＜1，或x＞3
∴函数在（1，3）上单调增，在（-∞，1），（3，+∞）上单调减
∴x=3时，函数取得极大值为g（3）=3
∵g（-1）=19，g（4）=-1
∴g（x）在[-1，4]上的最大值为19
∴b＞19
分析：（1）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；
（2）对任意x∈[-1，4]，都有f（x）＞f′（x）成立，等价于b＞-x³+6x²-9x+3在[-1，4]上恒成立，利用导数法求出右边函数的最大值，即可求b的取值范围．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，同时考查学生分析解决问题的能力．