Question

12．已知a，b，c为正实数，$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|-2x＜m．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可．

解答 解：因为a，b，c＞0，
所以$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+27abc≥3\root{3}{{\frac{1}{a^3}•\frac{1}{b^3}•\frac{1}{c^3}}}+27abc$
=$\frac{3}{abc}+27abc$$≥2\sqrt{\frac{3}{abc}•27abc}=18$，
当且仅当$a=b=c=\root{3}{{\frac{1}{3}}}$时，取“=”，
所以m=18．…（6分）
所以不等式|x+1|-2x＜m即|x+1|＜2x+18，
所以-2x-18＜x+1＜2x+18，解得$x＞-\frac{19}{3}$，
所以原不等式的解集为$（-\frac{19}{3}，+∞）$．…（10分）

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．