Question

（2013•安庆三模）已知数列{a_n}满足a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=a，
（1）当a=-

7

5

时，求出数列{a_n}的所有项；
（2）当a=1时，设b_n=|an-

2

|，证明：b_n+1＜b_n；
（3）设（2）中的数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜

2

．

Answer 1

分析：（1）将a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=-

7

5

，逐项代入，可分别求出数列{a_n}的前3项，结合a₃=-1时，使递推式右边的分母为零，可得数列只有这三项；
（2）由a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=1可得a_n≥1，进而可得b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜b_n；
（3）由（2）中a_n≥1，可得b_n≤（

1

2

）^n-1b₁，进而利用放缩法，证得S_n＜

2

．

解答：证明：（1）∵a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=-

7

5

，
∴a₂=

- 7 5 +2

- 7 5 +1

=-

3

2

，
a₃=

- 3 2 +2

- 3 2 +1

=-1，
由于当a₃=-1时，使递推式右边的分母为零．
∴数列{a_n}只有三项：a₁=-

7

5

，a₂=-

3

2

，a₃=-1…（3分）
（2）∵a_n+1=

an+2

an+1

，且a₁=1易知：a_n＞0，
又a_n+1=

an+2

an+1

=1+

1

an+1

＞1，
∴a_n≥1                                                      …（5分）
由a_n+1=

an+2

an+1

⇒a_n+1-

2

=

an+2

an+1

-

2

=

1- 2

an+1

（an-

2

）
∴|a_n+1-

2

|=|

1- 2

an+1

||an-

2

|
∴b_n+1=|

1- 2

an+1

|b_n；
∴b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜b_n；
即b_n+1＜b_n；                                                  …（8分）
（3）由（2）知：a_n≥1，
∴b_n+1=

2 -1

an+1

b_n≤

2 -1

2

b_n＜

1

2

b_n＜（

1

2

）²b_n-1＜…＜（

1

2

）ⁿb₁，
∵b₁=

2

-1，
∴b_n≤（

1

2

）^n-1b₁=（

2

-1）（

1

2

）^n-1，…（11分）
∴S_n＜（

2

-1）[1+

1

2

+…+（

1

2

）^n-1]=（

2

-1）×2×[1-（

1

2

）ⁿ]＜2（

2

-1）＜

2

，
∴S_n＜

2

                                                   …（13分）

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，数列求和，数列与不等式的综合应用，综合性强，运算强度大，属于难题．