Question

设a∈R，b∈R，x∈[-1，1]时，f（x）=-x²-ax+b的最小值是-1，最大值是1，求a、b的值．

Answer 1

分析：由于f（x）=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b，对称轴为 x=-

a

2

，分-

a

2

＜-1、-1≤-

a

2

≤0、0＜-

a

2

≤1、-

a

2

＞1四种情况，分别利用函数的单调性并根据函数的最值，求出a、b的值．

解答：解：f（x）=-x²-ax+b=-（x²+ax-b）=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b，对称轴为 x=-

a

2

．
①当-

a

2

＜-1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是减函数，由

f(-1)=1 f(1)=-1

可得，a、b无解．
②当-1≤-

a

2

≤0时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，

a

2

]上是增函数，在（

a

2

，1]上是减函数，
由

f(- a 2 )=1 f(1)=-1

可得

a=2 2 -2 b=2 2 -2

．
③当0＜-

a

2

≤1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，

a

2

]上是增函数，在（

a

2

，1]上是减函数，
由

f(- a 2 )=1 f(-1)=-1

可得

a=2-2 2 b=2+2 2

．
④当-

a

2

＞1时，f（x）=-x²-ax+b在[-1，1]上是增函数，由

f(-1)=-1 f(1)=1

可得 a、b无解．
综上可得，

a=2 2 -2 b=2 2 -2

 或

a=2-2 2 b=2+2 2

．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．