某车间将10名技工平均分成甲.乙两组加工某种零件.在单位时间内每个技工加工的合格零件数.按十位数字为茎.个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲.乙两组数据的平均数都为10．的值,(2)分别求出甲.乙两组数据的方差S甲2和S乙2.并由此分析两组技工的加工水平(3)质检部门从该车间甲.乙两组技工中各随机抽取一名技工.对其加� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10．
（1）求（a，b）的值；
（2）分别求出甲、乙两组数据的方差S_甲²和S_乙²，并由此分析两组技工的加工水平
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，$\overline{x}$为数据x₁，x₂，…，x_n的平均数）

分析（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差${S}_{甲}^{2}$和${S}_{乙}^{2}$，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．
（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“质量合格”的基本事件的个数，即可求得该车间“质量合格”的概率．

解答解：（1）由题意得$\overline{x_甲}=\frac{1}{5}（{7+8+10+12+10+m}）=10$，
解得m=3，
再由$\overline{x_乙}=\frac{1}{5}（{n+9+10+11+12}）=10$，
解得n=8；
（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差：
$S_甲^2=\frac{1}{5}[{{{（{7-10}）}^2}+{{（{8-10}）}^2}+{{（{10-10}）}^2}+{{（{12-10}）}^2}+{{（{13-10}）}^2}}]=5.2$，
$S_乙^2=\frac{1}{5}[{{{（{8-10}）}^2}+{{（{9-10}）}^2}+{{（{10-10}）}^2}+{{（{11-10}）}^2}+{{（{12-10}）}^2}}]=2$，
并由$\overline{x_甲}=\overline{x_乙}，S_甲^2＜S_乙^2$，
可得两组技工水平基本相当，乙组更稳定些．
（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，
对其加工的零件进行检查，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），
则所有的（a，b）有：
（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、
（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、
（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、
（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、
（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，
而满足a+b≤17的基本事件有：
（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，
故满足a+b＞17的基本事件个数为25-5=20，
所以该车间“质量合格”的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$．

点评本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题

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