Question

 如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2．

(Ⅰ) 求异面直线EF与BC所成角的大小；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值为，求AB的长．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)30°(Ⅱ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 延长AD，FE交于Q．

因为ABCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．

在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．

(Ⅱ) 方法一：

设AB＝x．取AF的中点G．由题意得

DG⊥AF．

因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以

AB⊥平面ADEF，

所以

AB⊥DG．

所以

DG⊥平面ABF．

过G作GH⊥BF，垂足为H，连结DH，则DH⊥BF，

所以∠DHG为二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得

DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得

＝，

所以

GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得

DH＝．

因为cos∠DHG＝＝，得

x＝，

所以  AB＝．

方法二：设AB＝x．

以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以 ＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因为EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

设＝(x₁，y₁，z₁)为平面BFD的法向量，则     

所以，可取＝(，1，)．

因为cos<，>＝＝，得

x＝，

所以

AB＝．

考点：异面直线所成角  二面角

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。