Question

15．已知直线l：y=x+m，圆O：x²+y²-4=0，圆C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）．
（1）若a=3，圆O与圆C交于M，N两点，试求线段|MN|的长．
（2）直线 l与圆C相切，且直线l在圆C心的下方，当0＜a≤4时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由方程x²+y²-4=0与x²+y²+6x-6y+6=0消去二次项得，3x-3y+5=0，再求得圆心O到直线3x-3y+5=0的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得线段|MN|的长；
（2）由直线l与圆C相切，建立m与a的关系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，再由点C在直线l的上方，去掉绝对值，将m转化为关于a二次函数求解．

解答 解：（1）当a=3时，C：x²+y²+6x-6y+6=0，由方程x²+y²-4=0与x²+y²+6x-6y+6=0消去二次项得，3x-3y+5=0，圆心O到直线3x-3y+5=0的距离为$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$，∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$．
（2）∵x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0，∴（x+a）²+（y-a）²=4a，∴圆心C（-a，a），半径$r=2\sqrt{a}$，
圆心C（-a，a）到直线l的距离为$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∵直线l与圆C₂相切，∴d=r，即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$，∴$m=2a±2\sqrt{2a}$，
∵直线l在圆心C的下方，∴$m=2a-2\sqrt{2a}={（{\sqrt{2a}-1}）^2}-1$，∵0＜a≤4，
∴$m∈[{-1，8-4\sqrt{2}}]$．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相交，由圆心距，半径和圆的弦长构成的直角三角形．