【题目】已知椭圆C:+y2=1,不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M,N两点.
(1)若线段MN的中点坐标为 (1,),求直线l的方程;
(2)若直线l过点P(p,0),点Q(q,0)满足kQM+kQN=0,求pq的值.
【答案】(1)x+2y﹣2=0;(2)pq=4.
【解析】
(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),代入椭圆方程,然后相减用点差法将中点公式代入,可求出直线M N的斜率,然后写出直线方程.
(2)设出直线M N的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理代入用M, N的坐标表示出kQM+kQN=0的式子中,可求出答案.
(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则,两式相减,可得.
,①
由题意可知x1+x2=2,y1+y2=1,代入①可得直线MN的斜率k==﹣
.
所以直线MN的方程y﹣=﹣
(x﹣1),即x+2y﹣2=0,
所以直线MN的方程x+2y﹣2=0.
(2)由题意可知设直线MN的方程y=k(x﹣p),
设M(x1,y1),N(x2,y2),
联立,整理得(1+4k2)x2﹣8k2px+4k2p2﹣4=0,
则x1+x2=,x1x2=
,
由kQM+kQN=0,则=0,
即y1(x2﹣q)+y2(x1﹣q)=0,
∴k(x1﹣p)(x2﹣q)+k(x2﹣p)(x1﹣q)=0,
化简得2x1x2﹣(p+q)(x1+x2)+2pq=0,
∴﹣
+2pq=0,
化简得:2pq﹣8=0,
∴pq=4.
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【题目】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”,称为祖暅原理.意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体,若在等高处的截面面积始终相等,则它们的体积相等.利用这个原理求半球O的体积时,需要构造一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_____,表面积为_____.
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【题目】点是曲线
:
上的一个动点,曲线
在点
处的切线与
轴、
轴分别交于
,
两点,点
是坐标原点,①
;②
的面积为定值;③曲线
上存在两点
,
使得
是等边三角形;④曲线
上存在两点
,
使得
是等腰直角三角形,其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】中国古代数学成就甚大,在世界科技史上占有重要的地位.“算经十书”是汉、唐千余年间陆续出现的10部数学著作,包括《周髀算经》、《九章算术》、……、《缀术》等,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书.某中学图书馆全部收藏了这10部著作,其中4部是古汉语本,6部是现代译本,若某学生要从中选择2部作为课外读物,至少有一部是现代译本的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是
,
,再接下来的三项是
,
,
,依此类推,若该数列前
项和
满足:①
②
是2的整数次幂,则满足条件的最小的
为
A. 21B. 91C. 95D. 10
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【题目】选修4-4:极坐标与参数方程
在极坐标系下,已知圆O:和直线
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,,
,
,它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边BA上,D、G分别在边BC、CA上,设△ABC的面积为
,正方形DEFG的面积为
.
(1)试用、
分别表示
和
;
(2)设,求
的最大值,并求出此时的
.
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【题目】2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数;
(2)为查找影响学生阅读时间的因素,学校团委决定从每周阅读时间为,
的学生中抽取9名参加座谈会.
(i)你认为9个名额应该怎么分配?并说明理由;
(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据,填写下面的列联表,并判断是否有
的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否理工类专业”有关?(精确到0.1)
阅读时间不足8.5小时 | 阅读时间超过8.5小时 | |
理工类专业 | 40 | 60 |
非理工类专业 |
附:(
).
临界值表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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