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已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数 $数学公式$ 的最大值为 $数学公式$ 时，求k的值．

解：（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞ $\text{[math]}$ ，所以函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上单调递减，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜ $\text{[math]}$ ，所以函数f（x）在（0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递减；
（2）因为 $\text{[math]}$ ，所以g′（x）= $\text{[math]}$
令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）= $\text{[math]}$ -lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1， $\text{[math]}$ ，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x）_min=u（3）=3-3ln3=ln $\text{[math]}$ ＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x）_max=g（3）= $\text{[math]}$ ，所以k= $\text{[math]}$ ；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ 时，k的值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）确定函数定义域为（0，+∞），求导函数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（2）求导函数g′（x）= $\text{[math]}$ ，令u（x）=lnx+x-xlnx，求导函数u′（x）= $\text{[math]}$ -lnx，可得x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0，对k讨论，利用函数g（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，即可求得k的值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

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已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x₁∈（1，+∞），?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

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，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-

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④函数f(x)=(

)x-x

在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量

=(1，-2)与向量

=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，

）
其中正确命题的序号是

②③④

．

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（已知函数f（x）=k[（log_ax）²+（log_xa）²]-（log_ax）³-（log_xa）³，（其中a＞1），g（x）=x²-2bx+4，设t=log_ax+log_xa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x₁∈（1，+∞），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≤g（x₂），试求实数b的取值范围．．

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已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当函数的最大值为时，求k的值．

已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数 $数学公式$ 的最大值为 $数学公式$ 时，求k的值．