已知
是椭圆
上两点，点
的坐标为
.
（1）当
关于点
对称时，求证：
；
（2）当直线
经过点
时，求证：
不可能为等边三角形.
（1）详见解析，（2）详见解析.
解析试题分析：（1）利用“点代法”求点的坐标关系，在求解过程中证明结论.因为关于点对称，所以
，代入椭圆方程得
，两式相减得
，所以
（2）本题实质为“弦中点”问题，设中点为
，由“点差法”得
又假设为等边三角形时，有
所以
这与弦中点在椭圆内部矛盾，所以假设不成立.
试题解析：（1）证明：
因为
在椭圆上，
所以
1分
因为关于点对称，
所以
， 2分
将
代入②得
③，
由①和③消
解得， 4分
所以
. 5分
（2）当直线
斜率不存在时，
，
可得
，
不是等边三角形. 6分
当直线斜率存在时，显然斜率不为0.
设直线：
，中点为，
联立
消去
得
， 7分
由
，得到
① 8分
又
,
所以
，
所以
10分
假设为等边三角形，则有
，
又因为
，
所以
，即
， 11分
化简
，解得
或
12分
这与①式矛盾，所以假设不成立.
因此对于任意
不能使得,故不能为等边三角形. 14分
考点：弦中点问题，点代法求点的坐标
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
与椭圆交于
、
两点，试问，是否存在
轴上的点
，使得对任意的
，
为定值，若存在，求出
点的坐标，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，椭圆
的中心为原点
，长轴在
轴上，离心率
，又椭圆上的任一点到椭圆的两焦点的距离之和为
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若平行于
轴的直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，过、两点作圆心为
的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.求
的面积
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线
与曲线有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.
求证：以
为直径的圆过定点
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（ⅰ）设直线的斜率分别为
、
，求证：
为定值；
（ⅱ）当点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，圆
与直线
相切于点
，与
正半轴交于点
，与直线
在第一象限的交点为
.点
为圆上任一点，且满足
，动点
的轨迹记为曲线
．
（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线
和
分别交曲线于点
、
和
、
，求四边形
面积的最大值，并求此时的
的值．
（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知焦点在
轴上的椭圆
经过点
，直线
交椭圆于
不同的两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数，使△
是以
为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线D的顶点是椭圆C：
＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．
①若直线l的斜率为1，求MN的长；
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
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，C为圆B上任意一点，求AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程。