Question

已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为．
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x²+y²=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点F（-ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，由原点O到直线FA的距离为，知，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x，y），则有，由此入手能够推导出点P的坐标．
解答：解：（1）由点F（-ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，即，（2分）
∵原点O到直线FA的距离为，
∴．（5分）
故椭圆C的离心率．（7分）
（2）解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x，y），则有（10分）
解之，得．∵P在圆x²+y²=4上
∴，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故椭圆C的方程为，
点P的坐标为．（14分）
点评：本题考查椭圆的离心率的求法、求解椭圆方程的方法和点的坐标的求解，解题时要认真审题，仔细解答．