Question

已知AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1过左焦点F₁的任意一条弦，以AB为直径的圆被左准线截得圆弧CD，求证：CD所对的圆心角的度数为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F₁（c，0），求出双曲线的左准线方程，讨论当AB斜率不存在时，当AB斜率存在时，求出直线方程，圆心到直线的距离，以及圆的半径，求出CD所对的圆心角的一半的余弦值，且为

1

e

，再由二倍角的余弦公式即可得到定值．

解答： 证明：设F₁（c，0），
当AB斜率不存在时，则有AB：x=-c，
圆心为（-c，0），且到左准线x=-

a2

c

的距离为d=c-

a2

c

=

b2

c

，
将x=-c代入双曲线方程可得y=±

b2

a

，
则圆的半径为r=

b2

a

，cos∠CF₁O=

d

r

=

a

c

=

1

e

，
则cos∠CF₁D=cos2∠CF₁O=

2

e2

-1，
当AB的斜率存在时，设AB：y=k（x+c），
代入双曲线方程可得（b²-a²k²）x²-2ca²k²x-a²c²k²-a²b²=0，
x₁+x₂=

2ca2k2

b2-a2k2

，
则圆心M到左准线的距离为d'=-

a2

c

-

ca2k2

b2-a2k2

=

a2b2(1+k2)

c(a2k2-b2)

，
直径AB=AF₁+BF₁=e（-

a2

c

-x₁）+e（-

a2

c

-x₂）=-2a-e（x₁+x₂）
=-2a-

c

a

•

2ca2k2

b2-a2k2

=

2a2b2(1+k2)

a(a2k2-b2)

，
半径r'=

a2b2(1+k2)

a(a2k2-b2)

，
则有cos∠CMO=

d′

r′

=

a

c

，即有cos2∠CMO=

2

e2

-1，
cos∠CMD=

2

e2

-1，
综上可得，CD所对的圆心角的度数为定值，
且为arccos（

2

e2

-1）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查直线和圆的位置关系以及圆心到直线的距离，考查运算能力，属于中档题和易错题．