Question

11．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|ax|
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）+1；
（2）当a=2时，若对一切x∈R，恒有f（x）+g（x）≥b成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）+g（x）的最小值为1，从而求得 b≤1．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥g（x）+1，即|2x+1|≥|x|+1，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1≥-x+1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤0}\\{2x+1≥-x+1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1≥x+1}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x=0，解③求得x＞0，
综上可得，不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥0}．
（2）当a=2时，f（x）+g（x）=|2x+1||2x|≥|2x+1-2x|=1，
若对一切x∈R，恒有f（x）+g（x）≥b成立，则1≥b，即 b≤1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．