【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x﹣ a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)的定义域为R,
∵f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x)恒成立,
即log4(4﹣x+1)﹣kx=log4(4x+1)+kx恒成立,
∴log4 =2kx,即log4 =2kx,
∴42kx=4﹣x , ∴2k=﹣1,即k=﹣
(2)解:由g(x)有意义得a2x﹣ >0,即a(2x﹣ )>0,
当a>0时,2x﹣> 0,即2x> ,∴x>log2 ,
当a<0时,2x﹣ <0,即2x< ,∴x<log2 .
综上,当a>0时,g(x)的定义域为(log2 ,+∞),
当a<0时,g(x)的定义域为(﹣∞,log2 )
(3)解:令f(x)=g(x)得log4(4x+1)﹣ x=log4(a2x﹣ ),
∴log4 =log4(a2x﹣ ),即2x+ =a2x﹣ ,
令2x=t,则(1﹣a)t2+ at+1=0,,
∵f(x)与g(x)的图象只有一个交点,
∴f(x)=g(x)只有一解,∴关于t的方程(1﹣a)t2+ at+1=0只有一正数解,
①若a=1,则 +1=0,t=﹣ ,不符合题意;
②若a≠1,且 ﹣4(1﹣a)=0,即a= 或a=﹣3.
当a= 时,方程(1﹣a)t2+ at+1=0的解为t=﹣2,不符合题意;
当a=﹣3时,方程(1﹣a)t2+ at+1=0的解为t= ,符合题意;
③若方程(1﹣a)t2+ at+1=0有一正根,一负根,则 <0,∴a>1,
综上,a的取值范围是{a|a>1或a=﹣3}.
【解析】(1)令f(-x)=f(x)恒成立,根据对数的运算性质解出k,(2)令,对a进行讨论得出x的范围,(3)令f(x)=g(x),使用对数的运算性质化简,令2x=t,则关于t的方程只有一正数解,对a进行讨论得出a的范围.
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【题目】如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面ABCD,PA=AD=AB= CD=1,M为PB的中点.
(1)试在CD上确定一点N,使得MN∥平面PAD;
(2)点N在满足(1)的条件下,求直线MN与平面PAB所成角的正弦值.
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【题目】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(2)(理)求ξ的分布列和数学期望 (文)求P(ξ=1)的值
(3)(理)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
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【题目】已知定义在R的函数 是偶函数,且满足 上的解析式为 ,过点 作斜率为k的直线l , 若直线l与函数 的图象至少有4个公共点,则实数k的取值范围是
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知 表示两条不同的直线, 表示一个平面,给出下列四个命题:
① ;② ;
③ ;④ .
其中正确命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
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【题目】若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b∈R)满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[﹣1,﹣1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
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