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【题目】已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx与g(x)=log4(a2x a),其中f(x)是偶函数.
(1)求实数k的值;
(2)求函数g(x)的定义域;
(3)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)的定义域为R,
∵f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x)恒成立,
即log4(4﹣x+1)﹣kx=log4(4x+1)+kx恒成立,
∴log4 =2kx,即log4 =2kx,
∴42kx=4﹣x , ∴2k=﹣1,即k=﹣
(2)解:由g(x)有意义得a2x >0,即a(2x )>0,
当a>0时,2x﹣> 0,即2x ,∴x>log2
当a<0时,2x <0,即2x ,∴x<log2
综上,当a>0时,g(x)的定义域为(log2 ,+∞),
当a<0时,g(x)的定义域为(﹣∞,log2
(3)解:令f(x)=g(x)得log4(4x+1)﹣ x=log4(a2x ),
∴log4 =log4(a2x ),即2x+ =a2x
令2x=t,则(1﹣a)t2+ at+1=0,,
∵f(x)与g(x)的图象只有一个交点,
∴f(x)=g(x)只有一解,∴关于t的方程(1﹣a)t2+ at+1=0只有一正数解,
①若a=1,则 +1=0,t=﹣ ,不符合题意;
②若a≠1,且 ﹣4(1﹣a)=0,即a= 或a=﹣3.
当a= 时,方程(1﹣a)t2+ at+1=0的解为t=﹣2,不符合题意;
当a=﹣3时,方程(1﹣a)t2+ at+1=0的解为t= ,符合题意;
③若方程(1﹣a)t2+ at+1=0有一正根,一负根,则 <0,∴a>1,
综上,a的取值范围是{a|a>1或a=﹣3}.
【解析】(1)令f(-x)=f(x)恒成立,根据对数的运算性质解出k,(2)令,对a进行讨论得出x的范围,(3)令f(x)=g(x),使用对数的运算性质化简,令2x=t,则关于t的方程只有一正数解,对a进行讨论得出a的范围.

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