Question

已知椭圆的离心率为，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（I）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由得x²+（2b-4）x+b²=0
直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
所以△=0?b=1
所以椭圆（5分）
（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
所以两圆的切点为点（0，1）（8分）
所求的点T为点（0，1），证明如下．
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：
由 得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
所以，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）
分析：（I）先跟据直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线，求出b的值，再由椭圆离心率为，求出a的值，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先假设存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量，的数量积为0，得到关于直线斜率k的方程，求k，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．
点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合运用，另外，还结合了向量知识，综合性强，须认真分析．