【题目】如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，在施工过程中发现O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市委决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上（点P，Q分别在点O的正东、正北方向），且要求PQ与圆A相切.
（1）当点P距O处2百米时，求OQ的长；
（2）当公路PQ的长最短时，求OQ的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题意，建立直角坐标系，然后利用直线与圆的相切列出关于关于q的方程解之即可；
（2）利用截距式方程给出直线的方程，然后利用直线与圆相切找到两个待定系数间的关系，再利用勾股定理将PQ表示成关于q的函数，利用函数的单调性求其最值即可
试题解析：如图，以O为原点、直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系.
设P（p, 0），Q（0, q）且PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A的方程为
（1）由题意可设直线PQ的方程为
，
即
因为PQ与圆A相切，
所以
，解得
，
故当点P与O处2百米时，OQ的长为
百米.
（2）设直线PQ的方程为
，
即
.
因为PQ与圆A相切，
所以
，化简得
在Pt△POQ中，
.
令
则
当
时，
，即f(q)在（
上单调递减；
当
时，，即f(q)在
上单调递增.
所以f(q)在
时取得最小值，
故当公路PQ的长最短时，OQ的长为百米.
答：（1）当点P距O处2百米时，OQ的长为百米；（2）当公路PQ的长最短时，OQ的长为
百米.
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【题目】设|θ|＜ 
，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin 
tannθ，其前n项和为Sn
（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1） 
tannθ；
（2）求证：对任何正整数n，S2n= 
sin2θ[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．
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【题目】如图，正方体
的棱长为 1， 
为
的中点， 
为线段
上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为
.则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．
①当
时， 
为四边形；②当
时， 
为等腰梯形；③当
时， 
为六边形；④当
时， 
的面积为
.
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【题目】某校高二年级进行了百科知识大赛，为了了解高二年级900名同学的比赛情况，现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩，比赛成绩满分为100分，80分以上可获得二等奖，90分以上可以获得一等奖，已知抽取的两个班学生的成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示:
（1）比较两组数据的分散程度（只需要给出结论），并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的
值；
（2）现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访，求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
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【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
（Ⅰ）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．
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【题目】在直角坐标系
中，椭圆
的左、右焦点分别为
， 
也是抛物线
的焦点，点
为
与
在第一象限的交点，且
.
（1）求
的方程；
（2）平面上的点
满足
，直线
，且与
交于
两点，若
，求直线
的方程.
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【题目】已知函数f(x)＝x－1＋
(a∈R，e为自然对数的底数)．且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
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